两个矩阵合同的充要条件
两个矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。具体来说，对于两个实对称矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵C，使得$C^TAC=B$，则称A合同于B。实对称矩阵A和B合同的充要条件是它们具有相同的正负惯性指数，这意味着它们可以通过可逆线性变换化为具有相同标准形的二次型，即具有相同的正负惯性指数。
简要概述如下：
1. 合同的定义 ：如果存在一个可逆矩阵C，使得$C^TAC=B$，则称A合同于B。
2. 合同的充要条件 ：实对称矩阵A和B合同的充要条件是它们具有相同的正负惯性指数。
3. 正负惯性指数 ：正惯性指数是正特征值的个数，负惯性指数是负特征值的个数。
4. 合同矩阵的性质 ：合同矩阵等秩，即它们的秩相同。
5. 正定矩阵 ：如果一个矩阵是正定矩阵，那么它与任何非零向量X相乘的结果都大于0，且如果A与B合同，则B也是正定矩阵。
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